赠券收集问题再探：推广 Newman 和 Shepp 的双重 Dixie 杯问题

D.J. Newman 和 L. Shepp (1960) 提出的“双重 Dixie 杯问题”是赠券收集问题的一个著名变体，其研究对象是收集者为了集齐所有 $N$ 种不同赠券的 $m$ 套所需购买的赠券数量 $T_{m}(N)$。更确切地说，该问题旨在确定当不同赠券的数量 $N$ 变得任意大时，$T_{m}(N)$ 的期望（及方差）的渐近行为及其极限分布。本文将该问题的经典情形（即赠券概率相等的情形）推广到所选赠券概率不相等的一般情形。文章开头简要回顾了随机变量 $T_{m}(N)$ 的矩和矩生成函数的公式。随后，我们开发了计算 $T_{m}(N)$ 的一阶和二阶矩渐近性的技术（我们的技术也适用于 $T_{m}(N)$ 的高阶矩）。从这些渐近公式中，我们得到了当 $N \to \infty$ 时方差 $V[\,T_{m}(N)\,]$ 的主导行为。最后，基于 $E[\,T_{m}(N)\,]$ 和 $V[\,T_{m}(N)\,]$ 的渐近性，我们获得了针对大类赠券概率的随机变量 $T_{m}(N)$ 的极限分布。结果表明，在许多情况下（尽管并非总是如此），$T_{m}(N)$（经适当归一化后）依分布收敛于 Gumbel 随机变量。我们关于 $T_{m}(N)$ 极限分布的结果推广了 P. Erd\H{o}s 和 A. R\'{e}nyi (1961) 关于赠券概率相等情形下 $T_{m}(N)$ 极限分布的著名结果。