对称性在量子查询到通信模拟中的作用

Buhrman、Cleve 和 Wigderson（STOC'98）证明，对每个布尔函数 f : {-1,1}^n to {-1,1} 及 G ∈ {AND_2, XOR_2}，复合函数 f o G 的有界误差量子通信复杂度等于 O(Q(f) log n)，其中 Q(f) 表示 f 的有界误差量子查询复杂度。这通过 Alice 运行 f 的最优量子查询算法，并使用 O(log n) 量子比特的一轮通信来实现每次查询而达成。这与经典情形形成对比，在经典情形下易证 R^{cc}(f o G) 至多为 2R(f)，其中 R^{cc} 和 R 分别表示有界误差通信与查询复杂度。我们证明在量子设定中某些函数需要 O(log n) 的开销，从而 BCW 模拟是紧的。我们在此指出，在我们工作之前，对于所有 f 及所有 G ∈ {AND_2, XOR_2} 均有 Q^{cc}(f o G) = O(Q(f)) 的可能性尚未被排除。更具体地，我们展示如下。- 我们证明当 f 对称时不需要 log n 开销，推广了 Aaronson 和 Ambainis 关于 Set-Disjointness 函数的结果（Theory of Computing'05）。- 为证明上述结论，我们设计了噪声振幅放大的高效分布式版本，使我们能在 f 为 OR 函数时证明该结果。- 鉴于上述第一个结果，人们可能问即使在 f 是传递的（对称性的较弱概念）时，BCW 模拟中的 log n 开销是否也可避免。我们通过证明对某些传递函数，即使允许量子通信协议的错误概率任意接近 1/2，log n 开销仍是必要的，给出了强烈的否定答案。- 此外，我们给出了构造在 bounded-error 通信模型中 BCW 模拟需要 log n 开销的函数的通用方法等其他结果。