具有渐近估计李代数的李群的正则性问题

我们在渐近估计背景下解决了 Milnor 无限维李群的正则性问题。具体地,设 $G$ 为具有渐近估计李代数 $\mathfrak{g}$ 的李群,并将其演化映射记为 $\mathrm{evol}\colon \mathrm{D}\equiv \mathrm{dom}[\mathrm{evol}]\rightarrow G$,即 $\mathrm{D}\subseteq C^0([0,1],\mathfrak{g})$。我们证明 $\mathrm{evol}$ 在 $\mathrm{D}\cap C^\infty([0,1],\mathfrak{g})$ 上 $C^\infty$-连续当且仅当其在 $\mathrm{D}\cap C^0([0,1],\mathfrak{g})$ 上 $C^0$-连续。我们进一步证明,若 $G$ 是收缩的,则对 $k\in \mathbb{N}\sqcup\{\mathrm{lip},\infty\}$,$G$ 是 k-受限的。(后一条件比渐近估计稍宽松。)先前论文所得结果随后蕴含:渐近估计李群 $G$ 是 $C^\infty$-正则的当且仅当它是 Mackey 完备的、局部 $\mu$-凸的且具 Mackey 完备李代数——在此情形下,$G$ 对每个 $k\in \mathbb{N}_{\geq 1}\sqcup\{\mathrm{lip},\infty\}$ 是 $C^k$-正则的(对 $k\equiv\mathrm{lip}$ 有“光滑性限制”),且若 $G$ 甚至是序列完备且具积分完备李代数,则也是 $C^0$-正则的。