Cayley 圈的实 Fourier-Mukai 变换

实 Fourier-Mukai 变换将环面纤维化的一截面映为对偶环面纤维化全空间上的一个联络。通过此方法，Leung、Yau 与 Zaslow 为 K\"ahler 流形引入了形变 Hermitian Yang-Mills(dHYM)联络，而 Lee 与 Leung 为 $G_2$-流形与 ${\rm Spin}(7)$-流形引入了形变 Donaldson-Thomas (dDT) 联络。在本文中，我们通过仔细重新计算实 Fourier-Mukai 变换，为具有 ${\rm Spin}(7)$-结构的流形建议了一个 dDT 联络的替代定义，该定义似乎更为恰当。我们还提供了一些证据，表明我们所建议的定义与 $G_2$-流形的 dDT 联络以及 Calabi-Yau 4-流形的 dHYM 联络相容。本文的另一重要性在于它推动了我们在其他论文中的研究。即，基于本文中的计算，我们发展了具有 ${\rm Spin}(7)$-结构的流形上 dDT 联络的形变理论以及体积泛函的“镜像”，后者在物理学中称为 Dirac-Born-Infeld (DBI) 作用量。