三阶张量的秩 1 补全问题

本文研究了三阶张量的秩 $1$ 张量补全问题。首先，我们证明该问题等价于一个特殊的秩 $1$ 矩阵恢复问题。当张量是强秩 $1$ 可补全时，我们证明该问题等价于一个秩 $1$ 矩阵补全问题，并且可以通过迭代公式求解。对于其他情况，我们提出了核范数松弛和矩松弛方法来求解由此产生的秩 $1$ 矩阵恢复问题。核范数松弛有时能返回一个秩 $1$ 张量补全，有时则不能。当其失败时，我们应用半定规划松弛的矩层级来求解秩 $1$ 矩阵恢复问题。矩层级总能得到一个秩 $1$ 张量补全，或者检测出其不存在。展示了数值实验以证明所提方法的效率。