拓扑效应对通信的影响范围

我们继续研究当输入分布在 $k$ 个处理器之间时的函数计算通信代价，每个处理器位于称为终端的网络/图的一个顶点上。网络的每个其他节点也有一个处理器，但无输入。通信是点对点的，代价是协议在最坏情况下在所有边上交换的比特总数。Chattopadhyay、Radhakrishnan 和 Rudra（FOCS'14）最近使用 $L_1$ 嵌入工具发起了一项关于网络拓扑对总通信代价影响的研究。他们的技术为简单函数（如元素互异（ED））提供了紧界，这些函数依赖于图的1-中位数。本文处理另外两类自然函数。我们证明对于如集合不交（Set-Disjointness）等一大类自然函数，通信代价本质上是连接终端的最优斯坦纳树代价的 $n$ 倍。此外，我们证明对于如 $\text{ED} \circ \text{XOR}$ 和 $\text{XOR} \circ \text{ED}$ 这样的自然复合函数，由其定义给出的朴素协议对于一般网络是最优的。有趣的是，这些函数的界依赖于更复杂的拓扑参数，它们是斯坦纳树与1-中位数代价的组合。为获得结果，除 Chattopadhyay 等人使用的工具外，我们还使用了一些新工具。包括（i）通过线性规划审视通信约束；（ii）利用树嵌入理论中的工具证明处理复合函数情形的拓扑敏感直和结果；（iii）将某些问题的通信约束表示为多路割集合的族，其中每个多路割模拟在星型拓扑上计算函数的困难性。