3-网与偏置图的拟阵射影平面性问题

偏置图是一种带有选定圆（“圈”、“环路”）类的图，这些选定的圆被称为“平衡的”，且没有 theta 子图恰好包含两个平衡圈。偏置图有两个自然拟阵：框架拟阵与提升拟阵。拟阵理论中的一个经典问题是拟阵能否嵌入射影几何。目前尚无一般性解答，但对于偏置图的拟阵，可以给出代数判据。Zaslavsky 此前已给出了偏置图拟阵在 Desarguesian 射影空间中可嵌入性的此类判据；在本文中，我们针对剩余情形，即在不一定为 Desarguesian 的任意射影平面中的可嵌入性，建立了判据。该判据依赖于与图相关联的拟群嵌入至该平面的三元坐标环的加法或乘法环中的可嵌入性。3-节点偏置图等价于抽象部分 3-网；因此，我们得到了抽象 3-网在非 Desarguesian 射影平面中实现的一个新代数判据。我们基于一种称为三角形偏置展开的特殊 3-节点偏置图展开研究。我们的结果适用于所有有限 3-节点偏置图，因为我们证明了每个这样的偏置图都是三角形有限偏置展开的子图。而三角形的偏置展开又等价于拟群的 isotopy 类，后者等价于 3-网。关于将拟群嵌入三元环，目前尚有许多未知，因此我们不声称我们的判据是决定性的。例如，甚至是否存在无法嵌入任何有限三元环的有限拟群都尚属未知。如果存在，那么就存在一个有限秩 3 拟阵（属于相应的偏置展开），它无法嵌入任何有限射影平面——这是一个目前尚未解决的问题。