相依随机变量的乘积及其在离散时间风险模型中的应用

设 $X$ 为具有无界分布 $F$ 的实值随机变量，$Y$ 为具有无界分布 $G$ 的非负值随机变量，它们满足当 $x\to \infty$ 时，对于 $y\geq0$ 一致地有 \begin{eqnarray*} P(X>x|Y=y)\sim h(y)P(X>x) \end{eqnarray*} 成立。在对于所有常数 $b>0$ 均有 $\overline{G}(bx)=o(\overline H(x))$ 成立的条件下，我们证明了对于某个 $\gamma\geq 0$，$F\in\mathcal{L}(\gamma)$ 蕴含 $H\in \mathcal{L}(\gamma/\beta_G)$，且对于某个 $\gamma\geq 0$，$F\in\mathcal{S}(\gamma)$ 蕴含 $H\in \mathcal{S}(\gamma/\beta_G)$，其中 $H$ 是乘积 $XY$ 的分布，$\beta_G$ 是 $G$ 的右端点，即 $\beta_G=\sup\{y:~G(y)<1\}\in (0,\infty]$，且当 $\beta_G=\infty$ 时，$\gamma/\beta_G$ 被理解为 0。此外，在一个净保险损失和随机贴现因子具有相依结构的离散时间风险模型中，当净保险损失具有次指数尾时，得到了有限时间破产概率的一般渐近公式。