超音速湍流中密度涨落的概率分布

我们采用理论方法和数值模拟研究超音速湍流中的密度涨落。我们发展了稳态密度概率分布函数（PDF）的理论表述，将其与速度散度的条件统计联系起来。我们进行了两组数值模拟，分别使用 Riemann 解算器演化 Euler 方程，或使用有限差分方法演化 Navier-Stokes（N-S）方程。在用 N-S 模拟确认理论表述的有效性后，我们考察了动力学过程对 PDF 的影响，表明散度方程中的非线性项放大了 PDF 的右尾并压缩了左尾，压力项同时压缩左右尾，而粘度项反直觉地加宽了 PDF 的右尾。尽管如我们之前工作所发现的，Riemann 模拟得到的速度散度不准确，我们表明 Riemann 模拟得到的密度 PDF 与 N-S 模拟的一致。利用其高得多的有效分辨率，我们随后用 Riemann 模拟研究 PDF 对马赫数 $\mathcal{M}$ 的依赖，直至 $\mathcal{M}\sim30$。PDF 宽度 $\sigma_{s}$ 满足关系 $\sigma_{s}^2 = \ln (1+b^2 {\mathcal M}^2)$，其中 $b\approx0.38$。然而，PDF 呈现负偏度且随 $\mathcal{M}$ 增大而增大，因此 $\sigma_{s}$ 的增长大部分由左尾增长解释，而右尾增长趋于饱和。于是，将对数正态形状与标准方差-马赫数关系结合的通常预设在大 $\mathcal{M}$ 下严重高估了 PDF 右尾，这可能对恒星形成理论模型产生显著影响。