部分化的代价：有界树宽图上部分广义支配集的复杂性

对于非负整数的固定集合 $\sigma, \rho$，由 Telle [Nord. J. Comput. 1994] 提出的 $(\sigma, \rho)$-支配框架刻画了许多经典的图问题。对于图 $G$，$(\sigma,\rho)$-集是顶点集 $S$，满足对于每个 $v\in V(G)$，(1) 若 $v \in S$，则 $|N(v) \cap S| \in \sigma$，且 (2) 若 $v \notin S$，则 $|N(v) \cap S| \in \rho$。我们发起对该问题一种自然部分变体 $(\sigma,\rho)$-MinParDomSet 的研究，其中由 $\sigma, \rho$ 给出的约束无需对所有顶点满足，而是要求寻找一个大小至多为 $k$ 的集合，使得满足上述 (1) 或 (2) 的顶点数量最大化。我们的目标是理解 $(\sigma,\rho)$-MinParDomSet 是否能与非部分版本在相同的运行时间内求解，或者它是否严格更难。形式上，我们考虑非空有限或简单余有限集合 $\sigma$ 和 $\rho$（简单余有限集合形如 $\mathbb{Z}_{\geq c}$），并试图确定最小的常数 $c_{\sigma,\rho}$，使得在给定宽度为 $tw$ 的树分解时，存在一个 $c_{\sigma,\rho}^{tw}\cdot n^{O(1)}$ 时间的算法。在 Primal Pathwidth Strong Exponential Time Hypothesis 下，我们对每个此类固定的 $\sigma$ 和 $\rho$ 获得了关于 $c_{\sigma,\rho}$ 的匹配上下界，并确定了部分问题是否比非部分变体更难。对于某些集合 $\sigma$ 和 $\rho$，更一般的 $(\sigma,\rho)$-MinParDomSet 与非部分特例具有相同的复杂性（例如 Dominating Set），而对于其他选择，部分版本显著更难（例如 Perfect Code）。