支配型问题的参数化复杂性及其在线性码中的应用

我们研究了支配型问题的参数化复杂性。(sigma,rho)-支配是由 Telle 引入的一个通用且统一的框架：图 G 的顶点集 D 是 (sigma,rho)-支配的，如果对于任意 v 属于 D，有 |N(v)\cap D| 属于 sigma，且对于任意 $v\notin D$，有 |N(v)\cap D| 属于 rho。我们主要证明了对于任意 sigma 和 rho，当以支配集的大小为参数时，(sigma,rho)-支配问题是 W[2] 类的。这一一般性陈述是最优的，因为 (sigma,rho)-支配的几个特例是 W[2]-完全的（例如 Dominating Set）。我们还证明了对于对偶参数化，即以被支配集的大小为参数时，(sigma,rho)-支配也是 W[2] 类的。我们将此结果扩展到一类不属于 (sigma,rho)-支配框架的支配型问题，包括 Connected Dominating Set。我们还考虑了与带有奇偶约束的支配型问题相关的编码理论问题。特别是，我们证明了 Fq 上线性码的最小距离问题在标准和对偶参数化下均为 W[2] 类，而在对偶参数化下是 W[1]-难的。为了证明支配型问题的 W[2] 隶属关系，我们通过引入一种新型非确定性图灵机扩展了参数化复杂性的 Turing 方法，该机器能够执行“盲”转移，即不依赖于磁带内容的转移。我们证明了相应的 Short Blind Multi-Tape Non-Deterministic Turing Machine 问题是 W[2]-完全的。我们相信这种新机器可用于证明其他问题（不一定与支配相关）的 W[2] 隶属关系。