图支配若干变体的算法方面

集合 $S \subseteq V$ 是 G 的支配集，若对每个 u \in V \ S，存在 $v \in S$ 使得 $(u,v) \in E$，即 $N[S] = V$。支配集 $S$ 是孤立支配集（IDS），若诱导子图 $G[S]$ 至少有一个孤立顶点。已知孤立支配判定问题（IDOM）对二部图是 NP 完全的。本文扩展此结论，证明 IDOM 对分裂图与完美消去二部图（二部图的子类）是 NP 完全的。集合 $S \subseteq V$ 是独立集，若 G[S] 无边。集合 S \subseteq V 是 $G$ 的安全支配集，若对每个顶点 $u \in V \setminus S$，存在顶点 $v \in S$ 使得 $(u,v) \in E$ 且 $(S \ \{v\}) \cup \{u\}$ 是 $G$ 的支配集。此外，我们开启了对称为独立安全支配的新支配参数的研究。集合 $S\subseteq V$ 是独立安全支配集（InSDS），若 $S$ 是 $G$ 的独立集且安全支配集。G 中 InSDS 的最小大小称为 G 的独立安全支配数，记为 $\gamma_{is}(G)$。给定图 $G$ 与正整数 $k,$ InSDM 问题是检查 $G$ 是否有大小不超过 $k$ 的独立安全支配集。我们证明 InSDM 对二部图是 NP 完全的，并对有界树宽图与分裂图子类阈值图是线性时间可解的。MInSDS 问题是在输入图中求最小大小的独立安全支配集。最后，我们证明 MInSDS 问题对最大度 $5$ 的图是 APX-hard 的。