多环的夹固理想

多环 $\gamma\colon \sqcup_1^s \mathbb{S}^1 \looparrowright \mathbb{F}$ 是将有限个圆的通用嵌入到有向曲面中的映射，考虑于同胚等价。夹固集合是指一个点集合 $P\subset \mathbb{F}\setminus \operatorname{im}(\gamma)$，使得在 punctured 曲面 $\mathbb{F} \setminus P$ 中，嵌入 $\gamma$ 在其同伦类中的双点数目最少。多环的所有夹固集合构成的全序称为夹固理想 $\mathcal{PI}(\gamma)$，其上赋予基数函数，其最小值定义为夹固数 $\varpi(\gamma)$。我们证明，计算多环的夹固数的 decision 问题是 \textsf{NP}-complete 的，即使只考虑球面上的环亦如此。我们给出两个证明表明该问题是 \textsf{NP}：首先，我们实现了一个判断点集合是否为夹固集合的多项式算法，改进了 Birman--Series 和 Cohen--Lustig 的方法用于计算曲面中曲线的交数。其次，对于球面上的环，我们将问题在多项式时间内归约为布尔满足问题的一个变体，通过应用 Hass--Scott 对 taut 环的定理，并改进 Blank 和 Shor--Van Wyk 的算法来决定平面中的曲线是否界定一个浸入的圆盘。为了证明该问题是 \textsf{NP}-hard，我们将图的顶点覆盖问题归约为平面环的夹固问题。我们利用这些算法计算了约 1000 个球面上最小多环的夹固理想，这些多环可在在线目录 LooPindex 中获取。