积和式、图构件与某些平面公式的计数解

本文基于Valiant \cite{Val79a}和Ben-Dor/Halevi \cite{Ben93}的思想，即通过计算特殊构造矩阵的积和式来计数布尔公式满足解的数量。我们证明Desnanot-Jacobi恒等式（$\dji$）阻止了Valiant原始方法在特征为2的域上实现简约归约到积和式。下一步，由于积和式计算是#\classP完全的，我们利用积和式与无权重图二部双覆盖中完美匹配数相等这一事实。每当该二部双覆盖（BDC）是平面时，可使用Kasteleyn算法 \cite{Kas67}在多项式时间内计数完美匹配数。为强制BDC的平面性，我们替换Valiant的原始构件为新构件，并描述这些构件必须具有的性质。我们证明\textit{循环平面性}性质在寻找计数问题的正确构件中起关键作用。为绕过$\dji$障碍，我们转向域$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，其中素数$p > 2$。通过此方法，我们能够在随机多项式时间内计数$\forestdreisat$公式的解的数量。最后，我们提出一个猜想，指出何种广义构件不可能找到，否则将证明$\classRP = \classNP$。该猜想建立了图$\grG$邻接矩阵的子式行列式与$\grG$的BDC关于给定节点集的\textit{循环平面}结构之间的关系。