Paulsen 问题、连续算子缩放与平滑分析

Paulsen 问题是算子理论中的一个基本开放问题：给定 $\epsilon$-近似满足 Parseval 条件和等范数条件的向量 $u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^d$，它是否接近于精确满足 Parseval 条件和等范数条件的一组向量 $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb R^d$？给定 $u_1, \ldots, u_n$，（到精确解集合的）平方距离定义为 $\inf_{v} \sum_{i=1}^n \| u_i - v_i \|_2^2$，其中下确界取自所有精确解。先前结果表明，任何 $\epsilon$-近似解的平方距离至多为 $O({\rm{poly}}(d,n,\epsilon))$，且存在平方距离至少为 $\Omega(d\epsilon)$ 的 $\epsilon$-近似解。根本的开放问题是平方距离能否与向量数 $n$ 无关。我们通过证明任何 $\epsilon$-近似解的平方距离为 $O(d^{13/2} \epsilon)$ 对该问题给出了肯定回答。我们的方法基于连续版本的算子缩放算法，由两部分组成。首先，我们定义一个基于算子缩放的动力学系统，并用它证明任何 $\epsilon$-近似解的平方距离为 $O(d^2 n \epsilon)$。然后，我们证明通过对输入向量进行随机扰动，该动力学系统将更快收敛，且当 $n$ 足够大且 $\epsilon$ 足够小时，$\epsilon$-近似解的平方距离为 $O(d^{5/2} \epsilon)$。为了分析该动力学系统的收敛性，我们在算子容量的下界估计方面发展了一些新技术，算子容量是 Gurvits 为分析算子缩放算法而引入的概念。