二阶椭圆组的 $p$-椭圆性条件及其在 Lamé 与均匀化问题中的应用

$p$-椭圆性的概念在增进我们对标量复值椭圆型偏微分方程边值问题可解性问题的理解方面，近期发挥了重要作用。特别地，$p$-椭圆性的存在确保了此类方程解的更高正则性。在本工作中，我们将 $p$-椭圆性的概念推广至二阶椭圆组。回顾对于方程组，并不存在单一的椭圆性概念，而是呈现出由不同强度的椭圆性条件（如 Legendre、Legendre-Hadamard 和积分条件）构成的更复杂图景。当考虑 $p$-椭圆性时，也出现了类似的图景。在本文中，我们定义了三种新的 $p$-椭圆性概念，建立了它们之间的关系，并证明了它们各自在求解边值问题中均发挥重要作用。这些重要作用通过建立椭圆组 $L^p$ Dirichlet 问题可解性的外推结果得以证明，随后将该结果应用于两种不同场景：一是线性弹性中的 Lamé 系统，另一是均匀化理论。