三维均匀生成树中跨越簇的数目

令 ${\mathcal U}_{\delta}$ 为 $\delta \mathbb{Z}^{3}$ 上的均匀生成树。${\mathcal U}_{\delta}$ 的一个跨越簇是指 ${\mathcal U}_{\delta}$ 限制在单位立方体 $[0,1]^{3}$ 上的连通分支，其连接左面 $\{ 0 \} \times [0,1]^{2}$ 与右面 $\{ 1 \} \times [0,1]^{2}$。本文中，我们将证明当 $\delta \to 0$ 时跨越簇的数目是紧的，这解决了 Benjamini (1999) 提出的一个开放问题。