离散系统的非阿基米德理论

在本文中，我们研究了离散动力系统（自动机）关于传递性的行为；通俗地说，即考虑系统在执行各种词变换时的行为多样性：若对于任意一对长度相等的有限词$a,b$，系统$\mathfrak A$在（离散）时间演化过程中的某一时刻能将$a$变换为$b$，则称该系统为完全传递的。对于每个系统$\mathfrak A$，我们建立了一个对应关系，将其映射到适当非阿基米德度量空间上的一族连续映射$\mathcal F_{\mathfrak A}$，并证明该系统是完全传递的当且仅当族$\mathcal F_{\mathfrak A}$关于 Haar 测度是遍历的；随后，我们找到了系统成为完全传递系统所需满足的易于验证的条件。该理论可用于分析直线型计算机程序（特别是用于密码学和模拟的伪随机数生成器）的行为，因为基本的 CPU 指令（包括数值指令和逻辑指令）均可视为 2-adic 整数非阿基米德度量空间$\mathbb Z_2$上的连续映射。