V-统计量的多重分形谱

设 $(X, T)$ 为一个拓扑动力系统，令 $\Phi: X^r \to \mathbb{R}$ 为乘积空间 $X^r= X\times ... \times X$ ($r\ge 1$) 上的连续函数。我们关注以 $\Phi$ 为核的 V-统计量的极限：[$\lim_{n\to \infty} n^{-r}\sum_{1\le i_1, ..., i_r\le n} \Phi(T^{i_1}x, ..., T^{i_r} x).$] 当系统满足指定性质（specification property）时，上述极限的拓扑熵多重分形谱可由变分原理表示。不同于经典情形（$r=1$，其中当 $\Phi$ 为 H\"{o}lder 连续时谱为解析函数），高阶 V-统计量（$r\ge 2$）极限的谱即使对于非常好的核 $\Phi$ 也可能是不连续的。