多集分配占用函数与不平等（MAO函数与MAO不等式）：广义超几何分布理论的基础

在我们之前的工作中，我们研究了广义超几何分布（GHGD），称其为多集分配占用（MAO）分布。我们推导了其期望和方差公式，可适用于任意子集数$\mathit{T}$和重叠计数$\mathit{t}$（$1 \le t \le T$），并建立了渐近性质。然而，这些公式较为复杂，尚未推导出更高阶矩。通过进一步研究，我们建立了一个描述MAO分布所有更高阶矩的新函数，其形式统一、优美。核心定义包括MAO函数$g(A_1, A_2, \dots, A_r) = \prod_{i=1}^{T} (m_i)_{k_i} \cdot (n-m_i)_{r-k_i}$和MAO范数$\|\|(p_1, \dots, p_r)\|_T = \frac{\sum_{A_1, \dots, A_r \subseteq [T] \; : \; |A_j|=p_j} g(A_1, \dots, A_r)}{((n)_r)^{T-1}}$，其中$p_i$为子集$A_i$的大小，$m_i < n$，且$(x)_r$为下降阶乘。利用这些定义，复杂的矩关系简化为统一形式：第$\nu$阶原始矩可表示为$E(x_{=t}^\nu) = \sum_{1 \le i \le \nu} s_{\nu,i} \|t^i\|$和$E(x_{\ge t}^\nu) = \sum_{1 \le i \le \nu} s_{\nu,i} \|[t, T]^i\|$，其中$s_{\nu,i}$为第二类斯特林数，$[t,T] = \{t, t+1, \dots, T\}$。此外，基于MAO范数，我们在近似条件$\max(p_i) - \min(p_i) \le 1$下提出了新的MAO不等式：$\prod_{1\le i \le r} \|(p_i)\|_T \ge \|(p_1, \dots, p_r)\|_T$。一个直接的推论是MAO分布的渐近性质：$E(X) > \text{Var}(X)$且$E(X) - \text{Var}(X) = o(E(X))$当$E(X) \to 0$时。