一种高阶无迹变换

我们开发了一种新方法，用于估计任意分布多元随机变量经非线性函数作用后的期望值。我们不假设特定分布，而是假设仅给定分布的前四阶矩。目标是以少量称为 $\sigma$-点的求积节点来概括该分布。我们通过选择节点与权重以匹配分布的指定矩来实现这一点。经典的缩放无迹变换（SUT）匹配分布的均值与协方差。本文引入高阶无迹变换（HOUT），其还匹配任意给定的偏度与峰度张量。事实证明，匹配高阶矩的关键在于秩-1张量分解。尽管最小秩-1分解是NP完全的，我们给出了一种计算非最小秩-1分解的实用算法，并证明其在线性时间内收敛。然后我们展示如何组合各矩的秩-1分解以形成HOUT的 $\sigma$-点与权重。将 $\sigma$-点通过非线性函数并应用我们的求积规则，可估计输出分布的矩。我们证明HOUT对任意至多四阶多项式是精确的。最后，我们在非线性函数作用于非高斯随机变量的问题上将HOUT与SUT进行数值比较，包括一个用于混沌动力学预测与不确定性量化的应用。