松饼问题

你有 $m$ 个松饼和 $s$ 名学生。你想将松饼分成若干块并分给学生，使得每个学生获得 $\frac{m}{s}$ 个松饼。寻找一种分割与分配方案，以最大化最小块的大小。设 $f(m,s)$ 为最优方案中的最小块大小。我们证明 $f(m,s)$ 存在、是有理数，且是可计算的（尽管可能很困难）。我们表明 $f(m,s)$ 可由 $f(s,m)$ 推导得出；因此只需考虑 $m\ge s$ 的情况。我们给出一个函数 $FC(m,s)$，使得当 $m\ge s+1$ 时，$f(m,s)\le FC(m,s)$。通常情况下 $f(m,s)=FC(m,s)$。更正式地说，对于所有 $s$，除了有限个 $m$ 之外，均有 $f(m,s)=FC(m,s)$。这导出了 $f(m,s)$ 的一个优美公式，尽管存在例外情况。我们给出了一个包含 6 部分的公式 $INT(m,s)$，对于许多例外 $m$，有 $f(m,s)=INT(m,s)<FC(m,s)$。这对于大多数满足 ceil${2m/s}\ge 4$ 的例外 $m$ 有效。仍有一些例外 $m$ 满足 ceil${2m/s}=3$（若其 $\le 2$ 则问题是平凡的）。对于这些情况，我们有一种{\it 生成定理}的方法。对于 $1\le d\le 7$，我们已生成了 $f(s+d,s)$ 的公式。此处我们没有定理，但有一种方法论，对于某些 $m$，可得到一个值 $BM(m,s)$，通常满足 $f(m,s)=BM(m,s)<INT(m,s)<FC(m,s)$。目前看来，对于 $m\ge s$，有 $f(m,s) = \min\{FC(m,s), INT(m,s), BM(m,s) \}$，尽管我们尚未证明这一点。对于 $1\le s\le 50$ 且 $s\le m\le 60$，我们已获得了除 20 个值以外的所有 $f(m,s)$。