以切性表述的山路定理

本文从切性的角度讨论了有限维向量空间上局部 Lipschitz 函数的山路定理。即，设 $f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ 为具有山路几何的局部 Lipschitz 函数。令 $$c := \inf_{\gamma \in \mathcal A}\max_{t\in[0,1]}f(\gamma(t)),$$ 其中 $\mathcal{A}$ 为连接 $x^*$ 与 $y^*$ 的所有连续路径的集合。我们证明要么 $c$ 是 $f$ 的临界值，要么 $c$ 是 $f$ 在无穷远处的切性值。在 $f$ 为 o-极小结构中的可定义函数（例如半代数函数）的情形下，这归结为 Ambrosetti 与 Rabinowitz 的山路定理。