簇代数的极小单项提升 I：分支问题

设 $\widehat G \subseteq G$ 为复约化代数群。旨在将 $G$-模作为 $\widehat G$-模来研究的分支问题由一对最高权参数化的分支重数集合所编码。分支代数 $Br(G,\widehat G)$ 是一个分次代数，其齐次分支的维数恰为分支重数。此处，对某些群对，我们赋予 $Br(G, \widehat G)$ 以分次上簇代数结构。我们的结果在 $\widehat G$ 为 $G$ 的 Levi 子群时成立，或在张量积情形（即 $\widehat G$ 为 $G= \widehat G \times \widehat G$ 中的对角子群）下成立，假设 $G$ 半单且单连通。这改进了 J.Fei 的结果，其在 $\widehat G=T$ 为 $G$ 的极大环面、以及 $G \subseteq G \times G$（假设 $G$ 为单、单连通且单连通型）时得到相同陈述。为证明我们的结果，我们发展了一种称为极小单项提升的新几何与组合技术。设 $Y$ 为具簇结构的复概型，$T$ 为复环面，$\mathfrak{X}$ 为 $T \times Y$ 的合适部分紧化。极小单项提升在 ${\mathcal O}_{\mathfrak{X}}(\mathfrak{X})$ 中生成一个典范分次上簇代数 $\overline{\mathcal{A}}$，其在精确意义上是赋予 $\mathfrak{X}$ 上与 $Y$ 相容的簇结构的最佳候选。我们发展了一些几何判据来证明 $\overline{\mathcal{A}}$ 与 ${\mathcal O}_{\mathfrak{X}}(\mathfrak{X})$ 的相等，这并非总成立且具有一些显著推论。该技术非常灵活，将在别处用于赋予其他经典代数以分次上簇代数结构。