$0$-Extension 的度量松弛存在 $\Omega(\log^{2/3}{k})$ 的间隙

我们考虑$0$-Extension问题，其中给定一个无向图$\mathcal{G}=(V,E)$并配备非负边权$w:E\rightarrow \mathbb{R}^+$，一组$k$个称为终端的特殊顶点$T=\{ t_1,\ldots,t_k\}\subseteq V$，以及$T$上的半度量$D$。目标是将每个非终端顶点分配给一个终端，同时最小化所有边上边权乘以边端点所分配终端之间在$D$中距离的乘积之和。$0$-Extension有两个已知算法，分别达到$O(\log{k})$ [C{\u{a}}linescu-Karloff-Rabani SICOMP '05]和$O(\log{k}/\log{\log{k}})$ [Fakcharoenphol-Harrelson-Rao-Talwar SODA '03]的近似比。两个已知算法都基于对一个称为度量松弛的自然线性规划松弛的舍入，其中$D$从$T$扩展至整个$V$。当前度量松弛已知最佳积分间隙为$\Omega (\sqrt{\log{k}})$。本文中我们给出了度量松弛的改进积分间隙$\Omega(\log^{\frac{2}{3}}k)$。我们的构造基于一个图对另一个图的随机扩展，该概念将图提升作为特例包含，并可能具有独立意义。受代数拓扑启发，我们对间隙实例的分析基于证明随机扩展中不存在连续截面（拓扑意义下）。