增强图的代数连通度

对于任意无向图 $G=(V,E)$ 和一组候选边 $E_W$（满足 $E\cap E_W=\emptyset$），$(k,\gamma)$-谱可增广性问题是从 $E_W$ 中找出带适当权重的 $k$ 条边组成的集合 $F$，使得所得图 $H=(V,E\cup F)$ 的代数连通度至少为 $\gamma$。由于代数连通度与许多其他图参数（包括图的电导和图中随机游走的混合时间）之间存在紧密联系，过去 15 年来，通过添加少量边来最大化所得图的代数连通度已被广泛研究。本文中，我们针对 $(k,\gamma)$-谱可增广性问题提出一种近似且高效的算法，该算法在广泛的参数范围内以近线性时间运行。我们的主要算法基于本文发展的以下两种新技术，它们可能在 $(k,\gamma)$-谱可增广性问题之外也有应用。(1) 我们提出了一种快速算法，用于求解 [GB06] 中代数连通度最大化问题的 SDP 可行性版本。我们的算法基于求解 SDP 的经典原始对偶框架，其进而使用乘权更新算法。我们提出了一种统一不同矩阵与向量变量上 SDP 约束的新方法，并相应地给出了一个好的分离预言。(2) 我们提出了子图稀疏化问题的高效算法，对于广泛的参数范围，我们的算法以近线性时间运行，而此前已知最优算法运行时间至少为 $\Omega(n^2mk)$ [KMST10]。我们的分析展示了随机化 BSS 框架如何推广到子图稀疏化设定，以及势函数如何被用于近似追踪不同子空间。