半正则图的最大完美匹配数

设 $n\ge 34$ 为偶数，且 $D_n=2\lceil n/4 \rceil-1$。在本文中，我们证明了每个阶为 $n$ 的 $\{D_n,\,D_n+1\}$-图包含 $\lceil n/4 \rceil$ 个不相交的完美匹配。该结果是紧的，因为 (i) 存在一个恰好包含 $\lceil n/4 \rceil$ 个不相交完美匹配的 $\{D_n,\,D_n+1\}$-图，且 (ii) 对每个 $n$，存在一个没有完美匹配的 $\{D_n-1,\,D_n\}$-图。作为推论，对于任意整数 $D\ge D_n$，每个阶为 $n$ 的 $\{D,\,D+1\}$-图包含 $\lceil (D+1)/2 \rceil$ 个不相交的完美匹配。这推广了 Csaka 等人令人惊叹的结论，即每个足够大阶的 $D$-正则图是 $1$-可因子化的；推广了 Zhang 和 Zhu 的结论，即每个阶为 $n$ 的 $D_n$-正则图包含 $\lceil n/4 \rceil$ 个不相交的完美匹配；并改进了 Hou 的结论，即对所有 $k\ge n/2$，每个阶为 $n$ 的 $\{k,\,k+1\}$-图包含 $(\lfloor n/3\rfloor+1+k-n/2)$ 个不相交的完美匹配。