求解确定性最优控制问题的极大加有限元方法：基本性质与收敛分析

我们引入 Petrov-Galerkin 有限元方法的极大加类比，以求解有限水平确定性最优控制问题。该方法依赖于极大加变分公式。我们证明，当刚度矩阵的极大加类比被精确已知时，在 sup 范数下的误差可由值函数与其在极大加和极小加半模上投影之差来界定。一般而言，刚度矩阵必须被逼近：这需要逼近 Lax-Oleinik 半群在有限元上的运算。我们考虑两种依赖于哈密顿量的逼近。我们导出了任意维数下的收敛结果，表明对一类问题，误差估计分别为阶 $\delta+\Delta x(\delta)^{-1}$ 或 $\sqrt{\delta}+\Delta x(\delta)^{-1}$，取决于逼近的选择，其中 $\delta$ 与 $\Delta x$ 分别为时间与空间离散步长。我们将我们的方法与 Fleming 和 McEneaney 先前引入的另一种基于极大加的离散化方法进行比较。我们给出了维度 1 和 2 中的数值例子。