类型 $E_7$ 与 $E_8$ 的广义非交叉分区的 $M$-三角形

一个秩化的局部有限偏序集 $P$ 的 $M$-三角形是指生成函数 $\sum_{u,w\in P} ^{}\mu(u,w) x^{\rk u}y^{\rk w}$,其中 $\mu(.,.)$ 是 $P$ 的 M\"obius 函数。我们计算了 Armstrong 的 $m$-可分子非交叉分区偏序集在 $E_7$ 与 $E_8$ 型根系下的 $M$-三角形。对于除 $D_n$ 外的其他类型,此计算已在早先论文“广义簇复形的 $F$-三角形”中完成。总体而言,这几乎解决了 Armstrong 的 $F=M$ 猜想,该猜想预测了 $m$-可分子分区偏序集的 $M$-三角形与 Fomin 和 Reading 的广义簇复形的 $F$-三角形(某种精细的面计数)之间的惊人关系,仅余 $D_n$ 型中的缺口。此外,我们证明了该 $M$-三角形的一个互反性结果,同样可能在 $D_n$ 型为例外。我们的结果基于对某些 $E_7$ 与 $E_8$ 型反射群的分解数的计算,这些分解数事实上携带比 $M$-三角形更精细的信息。其他例外反射群的分解数已在早先论文中算出。我们提出一个关于 $A_n$ 型分解数的猜想公式。