单位超立方体的分解与广义 Möbius 级数的反演

设 $s_d(n)$ 为通过一系列分割操作可获得的、由 $n$ 个矩形区域构成的 $d$ 维超立方体的不同分解数。我们证明生成级数 $y = \sum_{n \geq 1} s_d(n)x^n$ 满足函数方程 $x = \sum_{n\geq 1} \mu_d(n)y^n$，其中 $\mu_d(n)$ 为 Möbius 函数的 $d$ 重 Dirichlet 卷积。这推广了 Goulden 等人近期的结果，并表明 $s_1(n)$ 也给出了具有 $n$ 个剩余类的自然数精确覆盖系的数量。我们还证明了 $s_d(n)$ 的一个渐近公式，并描述了 1 维分解与自然数精确覆盖系之间的双射。