有限 Coxeter 群的分解数与广义非交叉划分

给定一个有限不可约 Coxeter 群 $W$、一个正整数 $d$ 以及类型 $T_1,T_2,...,T_d$（在有限 Coxeter 群分类的意义上），我们计算了 $W$ 的一个 Coxeter 元 $c$ 的分解 $c=\si_1\si_2 cdots\si_d$ 的数目，使得 $\si_i$ 是 $W$ 中类型为 $T_i$ 的子群中的一个 Coxeter 元，$i=1,2,...,d$，并且该分解是“极小的”，即 $T_i$ 的秩之和，$i=1,2,...,d$，等于 $W$ 的秩。对于例外类型，这些分解数已由第一作者计算。类型 $A_n$ 的分解数已由 Goulden 和 Jackson 计算，尽管使用了稍有不同的语言。我们解释了如何从 B\'ona、Bousquet、Labelle 和 Leroux 关于地图计数的结果中提取类型 $B_n$ 的分解数。我们给出的类型 $D_n$ 分解数公式是新的。然后，这些结果被用来确定，对于固定的正整数 $l$ 和固定的整数 $r_1\le r_2\le ...\le r_l$，Armstrong 广义非交叉划分偏序集中多重链 $\pi_1\le \pi_2\le ...\le \pi_l$ 的数目，其中 $\pi_i$ 的偏序集秩等于 $r_i$，并且 $\pi_1$ 的“块结构”是预先指定的。我们证明，通过适当的求和，这一结果蕴含了关于普通和广义非交叉划分的所有已知计数结果。令人惊讶的是，即使对于 Kreweras 的原始非交叉划分，这个关于多重链计数的结果也是新的。此外，该结果允许我们解决类型 $D_n$ 广义非交叉划分偏序集中的秩选择链计数问题，这反过来又导致了类型 $D_n$ 中 Armstrong $F=M$ 猜想的证明。