整除关系下三角形数偏序集的 M"obius 函数

本文分析了定义在整除关系下的三角形数偏序集（$\mathcal T(i)$）上的 M"obius 函数（$\mu(i)$）。我们基于实验数据和其他已证明的猜想，对经典 M"obius 函数和 Mertens 函数的渐近行为提出了猜想。我们首先介绍 $\mu_{\mathcal T}(i)$ 的部分和的增长情况，并分析其与经典 M"obius 函数增长的不同之处；随后分析 $|\mu_{\mathcal T}(i)|$ 的部分和之间的关系，以及其与渐近经典 M"obius 函数的相似之处，这也涉及 Riemann zeta 函数。接着，我们构建了该偏序集的 Hasse 图，这有助于引入一种可视化三角形数整除关系的方法。这也构成了 zeta 矩阵和 M"obius 矩阵的基础。通过具体考察由 $(\mathbb{N}, \leq_{\mathcal T})$ 定义的偏序集（即整除关系下的三角形数）并对其应用 M"obius 函数，我们可以构建所需的矩阵。然后，利用 Python 库创建可视化结果以进行进一步分析，并投射前述模式。通过此过程，我们提出了两个新的猜想，分别对 $\mu_{\mathcal T}(n)$ 和 $\frac{\mu_{\mathcal T}}{i}$ 的和进行界定。我们在附录中总结了整除模式，并提供了有用且必要的命题证明。