关于与数值半群相关的局部有限偏序集的 M"obius 函数

设 $S$ 为一个数值半群，设 $\left(\mathbb{Z},\leqslant\_S\right)$ 为由 $S$ 在整数集 $\mathbb{Z}$ 上诱导的（局部有限）偏序集，其定义为：对于所有整数 $x$ 和 $y$，当且仅当 $y-x\in S$ 时，$x \leqslant\_S y$。在本文中，我们研究了当 $S$ 为算术半群时，与 $\left(\mathbb{Z},\leqslant\_S\right)$ 相关的 M{"o}bius 函数。