二分划关系的偏序集

Foata 和 Zeilberger 引入了二分划关系，用于刻画那些使得关联的逆序统计量和主指标具有等分布性质的关系。我们考虑由包含关系给出的二分划关系上的自然偏序。我们证明，在此偏序下，大小为 $n$ 的集合上的二分划关系构成一个秩为 $3n-2$ 的分次格。此外，我们证明该格的序复形同伦等价于一个维数为 $n-2$ 的球面。该格中的每个真区间要么具有可缩的序复形，要么同构于布尔格与更小的二分划关系格的直积。作为推论，我们得到每个区间的 Möbius 函数为 0、1 或 -1。证明中的主要工具是 Forman 发展的离散 Morse 理论，以及 Babson 和 Hersh 设计的、经 Hersh 和 Welker 扩展的该理论在分次偏序集序复形上的应用。