等变层与椭圆差分方程的局部信息

我们从等变层（equivariant sheaves）的视角研究曲线上代数差分方程的奇点。针对被 virtually the integers 的群所作用的约化曲线，我们提出了等变层在一点处的形式局部型的定义。我们证明在此定义下，等变层可由一个“开覆盖”黏合。确切地说，我们证明等变层可由以下数据唯一恢复：到该点补集的限制、该点处的局部型，以及两者在该点穿孔邻域上的同构。我们从此视角研究对称椭圆差分方程（以下称“椭圆方程”）。我们考虑对称椭圆差分方程的代数版本的若干自然概念，即对称椭圆差分模（“椭圆模”）。我们证明不同版本并不等价，但详述了它们之间的关联：所有版本都完全忠实地嵌入到同一个等变层范畴中。这意味着我们也可利用等变层理论研究椭圆方程的奇点。研究椭圆方程的一个原因是它们推广并退化为射影直线上的（q-）差分方程（即等变层）与微分方程（即 D-模）。我们从椭圆模视角讨论这一点，这需要研究奇异曲线上的椭圆模。我们研究奇异曲线上的椭圆模与其正规化之间的关系。我们证明对于在奇点处平坦的模存在等价性，并给出例子表明此结论无法进一步改进。