序列二项式均值的极限

对于实数序列 $\{a_n\}_{n\geq 0}$ 和参数 $0<p<1$，我们定义其算术均值序列 $\{a^*_n\}_{n\geq 0}$ 和其 $p$-二项式均值序列 $\{a^p_n\}_{n\geq 0}$ 为 \begin{align*} a^*_n=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n a_i & & \textrm{and} && a^p_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i} a_i. \end{align*} 我们比较了序列 $\{a_n\}_{n\geq 0}$、$\{a_n^*\}_{n\geq 0}$ 和 $\{a_n^p\}_{n\geq 0}$ 在各种 $0<p<1$ 下的收敛性，即分析一个序列的收敛性何时蕴含另一个序列的收敛性。虽然序列 $\{a^*_n\}_{n\geq 0}$（也称为序列的 Ces\`{a}ro 均值）在文献中已有充分研究，但关于 $\{a^p_n\}_{n\geq 0}$ 的结果却很难找到。我们的主要结果表明，如果 $\{a_n\}_{n\geq 0}$ 是一个非负实数序列，且对于某个 $0<p<1$，$\{a^p_n\}_{n\geq 0}$ 收敛于 $a\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}$，那么 $\{a^*_n\}_{n\geq 0}$ 也收敛于 $a$。我们给出了该结果在有限 Markov 链中的一个应用。