二元二次序列的最小公倍数

设 $F\in\mathbb{Z}[x,y]$ 为某个 2 次多项式。本文中我们求出 $F$ 取值直至 $N$ 的最小公倍数之渐近性态。更确切地说，我们考虑 $\psi_F(N) = \log\left(\text{LCM}_{0<F(x,y)\leq N}\left\lbrace F(x,y)\right\rbrace\right)$ 当 $N$ 趋于无穷时的性态。结果表明，依 $F$ 的不同存在 4 种可能的渐近性态。对一般的 $F$，我们证明函数 $\psi_F(N)$ 的阶为 $\frac{N\log\log N}{\sqrt{\log N}}$。我们也说明依据一个适当的随机模型，这是期望的阶。然而，特殊多项式 $F$ 可能具有不同性态，有时偏离随机模型。我们给出这些可能性态之阶的完整描述，以及各自出现的条件。