模型论中的Lascar群与第一同调群

设 $p$ 为任意理论 $T$ 中在 $B=\acl^{\eq}(B)$ 上的代数闭元组的一个强类型。依赖于满足某些基本公理的三元关系 $\indo^*$ （至少存在一个这样的关系，即 $T$ 中的平凡独立性），可引入第一同调群 $H^*_1(p)$，类似于\cite{GKK1}。我们证明了从 $B$ 上的Lascar群到 $H^*_1(p)$ 存在一个典范满同态。我们还注意到该映射可自然地通过从类型的“相对化”Lascar群（我们类比理论的Lascar群定义之）到同调群的满射分解，并给出了其核的显式描述。由于这一刻画，可知 $p$ 的第一同调群独立于 $\indo^*$ 的选择，并可简记为 $H_1(p)$。作为推论，我们在任意 $T$ 中证明了除非 $H_1(p)$ 平凡，否则 $|H_1(p)|\geq 2^{\aleph_0}$，并且利用第一同调群与相对化Lascar群的概念给出了代数闭元组的stp与Lstp相等的判据。我们还论证了任意阿贝尔连通紧群如何能作为模型的类型之第一同调群出现。