缺项级数和的大偏差行为

我们研究缺项级数和 $(S_n/n)_{n\in \mathbb{N} }$ 的大偏差行为，其中 $S_n:= \sum_{k=1}^n f(a_kU)$，$n\in\mathbb{N}$，$U$ 在 $[0,1]$ 上均匀分布，$(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ 是一个 Hadamard 间隙序列，$f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是一个 $1$-周期、(Lipschitz-)连续映射。在间隙较大的情形下，我们证明归一化部分和满足速度为 $n$ 的大偏差原理，且具有良好的速率函数，该函数与独立同分布随机变量 $U_k$（$k\in\mathbb{N}$、在 $[0,1]$ 上均匀分布）的情形相同。当缺项序列 $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ 为几何级数时，我们也得到速度为 $n$ 的大偏差原理，但具有良好的速率函数，其不同于独立情形，其形式以微妙的方式依赖于函数 $f$ 与间隙序列的算术性质之间的相互作用。我们的工作推广了 Aistleitner、Gantert、Kabluchko、Prochno 和 Ramanan [Large deviation principles for lacunary sums, preprint, 2020] 最近获得的一些结果，他们针对缺项三角和的情形开创了这一研究方向。