随机二元博弈的 Kelly 准则与效用函数优化：次鞅与超鞅机制

本文提出了 Kelly 准则的一种重新表述。设 $\mathfrak{G}$ 为一般的随机伯努利二元博弈，其 $N$ 次试验的结果为 $\mathscr{Z}(I)\in\lbrace -1,1\rbrace$，其中 $I=1...N$。二项概率为 $\mathsf{P}(\mathscr{Z}(I)=1)=p$ 和 ${\mathsf{P}}(\mathscr{Z}(I)=-1)=q$，且 $p+q=1$。对于公平博弈，$p=q=\tfrac{1}{2}$；对于有偏博弈，$p>q$。如果 $\mathscr{W}(0)$ 是初始财富，那么在第 $I$ 次试验中，下注比例为 $\mathcal{F}$，即下注额为 $B(I)=\mathcal{F}\mathscr{W}(I-1)$。如果下注 $B(I)$ 且 $\mathscr{Z}(I)=+1$，则收回原始下注额并赢得 $B(I)$；若 $\mathscr{Z}(I)=-1$，则损失 $B(I)$。对于大 $N$，第 $N$ 次试验/下注时的财富为随机游走 $\mathscr{W}(N)=\mathscr{W} (0)+\sum_{I=1}^{N}B(I)\mathscr{Z}(I)=\mathscr{W}(0)\prod_{I=1}^{N}(1+\mathcal{F}\mathscr{Z}(I))$，其期望为 $\mathsf{E}[\mathscr{W}(N)]$。定义“效用函数” $\mathsf{U}(\mathcal{F},p)=\mathsf{E}[\log(\mathscr{W}(N)/\mathscr{W}(0))^{1/N}]$，则 $\mathsf{U}(\mathcal{F},p)$ 由 Kelly 比例 $\mathcal{F}=\mathcal{F}_{K}=p-q=2p-1$ 优化，这本质上是 $\mathsf{U}(\mathcal{F},p)$ 的一个临界点。此外，$\mathsf{U}(\mathcal{F}_{K},p)$ 可与 Shannon 熵相关联。若 $[0,1]=[0,\mathcal{F}_{*})\bigcup [\mathcal{F}_{*}]\bigcup (\mathcal{F}_{*},1]$ 且 $\mathsf{U}(\mathcal{F}_{*},p)=0$，则当 $p>1/2$ 时，$\mathsf{U}(\mathcal{F},p)>0, \forall\mathcal{F}\in[0,\mathcal{F}_{*})$ 且 $\mathscr{W}(N)$ 为次鞅；同时 $\mathsf{U}(\mathcal{F},p)<0,\forall \mathcal{F}\in(\mathcal{F}_{*},1]$，且 $\mathscr{W}(\mathcal{F},p)$ 为超鞅。我们推导了方差与波动率 $\mathsf{VAR}(\mathscr{W}(N))$ 和 $\sigma(\mathscr{W}(N))=\sqrt{\mathsf{VAR}(\mathscr{W}(N)})$ 的估计。对于大 $N$ 且 $\mathcal{F}=\mathcal{F}_{K}$，$\mathsf{E}[\mathscr{W}(N)]$ 呈指数增长。