$k$-Plancherel测度与一个有限马尔可夫链

令 $\mathcal{P}_k(n)$ 表示最大部分不超过 $k$ 的 $n$ 的分拆集合，它与 $(k+1)$-核 $\mathcal{C}_k$ 之间存在众所周知的对应关系。我们研究了 $\mathcal{C}_k$ 上的一个增长过程，其平稳分布是 $k$-Plancherel 测度，这是在 $k$-Schur 函数背景下对 Plancherel 测度的自然推广。当 $k\to\infty$ 时，它收敛于分拆的 Plancherel 测度，这一极限首先由 Vershik-Kerov 研究。然而，当 $k$ 固定且 $n\to \infty$ 时，我们猜想它会收敛到一个接近 Rost 所研究的均匀增长分拆极限形状的形状。我们证明，对于固定的 $k$，其极限行为由一个具有 $k!$ 个状态的有限马尔可夫链控制，该链定义在 $k$-有界分拆的一个子集上，或等价地，定义为长度为 $k+1$ 的循环排列上的 TASEP。本文启动了这些过程的研究，陈述了一些定理，并提出了几个通过有限马尔可夫链计算发现的有趣猜想。