双曲空间中的鞍面 $p$-Christoffel-Minkowski 问题

鞍面 $p$-Christoffel-Minkowski 问题由 Li 和 Xu (2022) 提出，旨在在双曲空间 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的 $h$-凸域上 Prescribe 第 $k$ 个鞍面 $p$-曲率度量。它是经典 $L^p$ Christoffel-Minkowski 问题在欧几里得空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的自然推广。本文考察了与鞍面 $p$-Christoffel-Minkowski 问题相关的 fully nonlinear 方程。我们在对预期函数适当假设下，建立了均匀 $h$-凸解的存在性。证明的关键在于 full rank 定理，我们将基于 Bryan-Ivaki-Scheuer (2023) 的思路进行粘性方法求证。当 $p=0$ 时，双曲空间中的鞍面 $p$-Christoffel-Minkowski 问题等价于 conformal几何学中 $\mathbb{S}^n$ 上的 Nirenberg 类型问题。因此，我们的结果蕴含了 Nirenberg 类型问题解的存在性。