对称扩张的 Hartogs-Lindenbaum 谱

我们扩展了经典结果，即 $\mathsf{AC}_{\mathsf{WO}}$ 等价于命题“对所有 $X$，$\aleph(X)=\aleph^*(X)$”，通过证明更多相关命题的等价性。然后，我们引入 $\mathsf{ZF}$ 模型的 Hartogs-Lindenbaum 谱，并考察在由 $\mathsf{ZFC}$ 模型的对称扩张所得的模型中这些谱的结构。我们证明所有此类谱都落入一种非常刚性的模式。