具有循环边群的自由群图的 Hanna Neumann 猜想

自由群 $G$ 上的 Hanna Neumann 猜想（HNC）预测：对所有有限生成子群 $U$ 和 $V$，有 $\overline{\chi}(U\cap V)\leq \overline{\chi} (U)\overline{\chi}(V)$，其中 $\overline{\chi}(H) = \max\{-\chi(H),0\}$ 表示 $H$ 的约化欧拉示性数。HNC 的加强版本已于 2011 年由 Friedman 与 Mineyev 独立证明。近期，Antolín 与 Jaikin-Zapirain 引入了 $L^2$-Hall 性质，并证明若 $G$ 是满足该性质的双曲极限群，则 $G$ 满足 HNC。Antolín 与 Jaikin-Zapirain 建立了自由群与曲面群的 $L^2$-Hall 性质，Brown 与 Kharlampovich 将其推广至所有极限群。在本文中，我们证明了相对于 virtually abelian 子群双曲的、具有循环边群的自由群图的 $L^2$-Hall 性质。我们也给出了极限群的 $L^2$-Hall 性质的另一种证明。作为推论，我们表明所有这些群都满足 HNC 的加强版本。