长程薛定谔方程的基态与静态 $q\bar{q}$ 势

受 arXiv:1601.05679 中有关 $\mathcal N=4$ SYM 里夸克-反夸克势的最新结果启发，我们重新考虑计算某类一维薛定谔算符 $-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\lambda\,V(x)$ 基态能量的渐近弱耦合展开问题，该算符具有长程势 $V(x)$。特别地，我们考虑满足 $\int_{\mathbb R}dx\, V(x)<0$ 且大 $x$ 渐近行为 $V\sim -a/x^{2}-b/x^{3}+\cdots$ 的偶势。已知相关薛定谔算符在 $\lambda\to 0^{+}$ 时允许存在一个束缚态，但束缚能在 $\lambda=0$ 处严格非解析。其渐近展开始于 $\mathcal O(\lambda)$ 阶，但包含更高修正项 $\lambda^{n}\,\log^{m}\lambda$（所有 $0\le m\le n-1$），且标准 Rayleigh-Schr\"odinger 微扰理论在 $\lambda$ 的逐阶展开中失效。我们讨论多种解析工具以驯服此问题，并给出束缚能在 $\mathcal O(\lambda^{3})$ 阶以积分表示的一般展开。该方法在一个完全可控的可解势以及多种不可解情形上进行了检验。一个超对称情形，出现在 $\mathcal N=6$ ABJ(M) 理论中夸克-反夸克势的研究中，也被用来提供进一步非平凡的的一致性检验。我们的解析结果在第三阶确认了领头红外对数的显著指数化，这一现象首先在 $\mathcal N=4$ SYM 中被注意到，在那里可由重整化群论证证明。我们在所考虑类别的一般势的薛定谔方程层面上证明了这一有趣特征在所有阶成立。