网格双层覆叠上的 Green 函数及其在均匀生成树主干中的应用

我们计算了在 ${\mathbb Z}^2$ 的双层覆叠上，分支于一个顶点或一个面的 Green 函数。我们利用此结果计算了正方格子上均匀生成树“主干”的局部统计量，即在连接远处点的路径经过指定边的条件下，柱面事件的极限概率。我们还展示了如何计算均匀生成树的大尺度三重点（即主干分支处）的局部统计量。该方法将问题转化为带有孤立单体的二聚体系统，并利用正方格子双层覆叠上的 Green 函数计算了逆 Kasteleyn 矩阵。对于主干，柱面事件的概率属于 ${\mathbb Q}[\sqrt{2}]$；而对于三重点，概率属于 ${\mathbb Q}[1/\pi]$。