离散赋值域上除代数的亏格

给定一个带有离散赋值集 $V$ 的域，我们展示了该域上除代数的亏格如何与 $V$ 中各个赋值处的剩余代数的亏格以及分歧数据相关联。当除代数为四元数代数时，我们证明了其在许多域上的亏格平凡性，这些域包括高局部域、高局部域上曲线的函数域以及实闭域上曲线的函数域。我们还考虑了具有有理点的全局域上曲线的函数域，并展示了亏格问题如何与该曲线雅可比的 Tate-Shafarevich 群的 $2$-挠部分相关联。作为特例，我们展示了所发展方法如何给出椭圆曲线函数域上亏格大小的更优界，并通过若干例子说明如何直接利用椭圆曲线的算术数据进行计算。