多项式的广义Hadamard积及其稳定性

对于两个次数分别为$n$和$m$（$n\geq m$）的多项式$$f\left( s\right) =a_{0}+a_{1}s+\ldots+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n}s^{n}$$ 与 $$g\left( s\right) =b_{0}+b_{1}s+\ldots+b_{m-1}s^{m-1}+b_{m}s^{m}$$ 我们定义一组多项式 $f\bullet g =\left\{ F_{0},\ldots,F_{n-m}\right\}$，其中 $$F_{j}\left( s\right) =a_{j}b_{0}+a_{j+1}b_{1}s+\ldots+a_{j+m}b_{m}s^{m},$$ 对 $j=0,\ldots,n-m$，并称其为\textit{$f$与$g$的广义Hadamard积}。我们给出$f\bullet g$的Hurwitz稳定性的充分条件。所得结果表明，著名的关于多项式Hadamard积的Hurwitz稳定性的Garloff--Wagner定理是一个更一般事实的特例。我们还证明，对于每一个具有正系数的多项式（即使不一定稳定），都可找到一个多项式使得它们的广义Hadamard积稳定。还给出了与容许Hadamard分解的多项式的一些联系。数值例子完成并说明了上述论述。