$gl_n(\mathbb{C})$ 无限维表示的 Gelfand-Tsetlin 基

我们考虑李代数 $gl_n(\mathbb{C})$ 的酉主序列表示的 Gelfand-Tsetlin 基的确定问题。无限维表示的 Gelfand-Tsetlin 基可定义为相应 L-算子的角量子子式公共本征函数构成的基。该构造基于关于代数秩的归纳：将 $gl_n(\mathbb{C})$ 的一个基元用 $gl_{n-1}(\mathbb{C})$ 的一个基元的 Mellin-Barnes 型积分表示。积分变量是设定本征函数的参数（换言之，量子数）。显式结果对秩 $3$ 和 $4$ 给出，并证明了所构造基元集合的正交性。对 $gl_3(\mathbb{C})$，积分核用本征函数参数的 gamma 函数表示；对 $gl_4(\mathbb{C})$ 的情形，则用复域单位处的超几何函数表示。所给出的任意秩公式使得我们可以获得核的有限差分方程组。它们包含通过主序列表示的 $gl_{n-1}(\mathbb{C})$ L-算子的子式表示 $gl_n(\mathbb{C})$ L-算子的量子子式的表达式，以及某些非角子式在角子式本征函数上作用的公式。后者对 $gl_n(\mathbb{C})$ 的任意表示（不仅是主序列）都成立，只要其中 L-算子的角子式可对角化。