通过 Ehrenfeucht 博弈刻画具有分隔子图的一阶可定义图

我们说一阶公式 $\Phi$ 定义一个图 $G$，如果 $\Phi$ 在 $G$ 上为真且在每个与 $G$ 不同构的图 $G'$ 上为假。令 $D(G)$ 为这样的公式的最小量词秩。我们证明，如果 $G$ 是度数有界的树或哈密顿（等价地，2-连通）外平面图，则 $D(G)=O(\log n)$，其中 $n$ 表示 $G$ 的阶。该界在最差常数因子意义下是最优的。若 $h$ 为常数，对于没有次要子图 $K_h$ 且度数 $O(\sqrt n/\log n)$ 的连通图，我们证明界 $D(G)=O(\sqrt n)$。此结果适用于平面图，更一般地，适用于有界亏格图。